Fórmula de Combinação Simples
A fórmula de combinação simples é usada para calcular quantas maneiras diferentes podemos escolher um grupo de elementos de um conjunto, onde a ordem em que os elementos são escolhidos não importa. É representada como:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\]
Esta fórmula é útil para resolver problemas de contagem em várias áreas, incluindo estatística, combinatória e probabilidade.
Dedução da Fórmula
Agora, vamos deduzir a fórmula de combinação simples a partir dos princípios básicos da combinação:
Imagine que temos um conjunto de \(n\) elementos, e queremos calcular quantas maneiras diferentes podemos escolher \(k\) elementos desse conjunto. Vamos começar com \(n\) elementos e tentar reduzir isso para \(k\) elementos.
No primeiro passo, temos \(n\) escolhas para o primeiro elemento.
No segundo passo, após escolher o primeiro elemento, restam \(n - 1\) escolhas para o segundo elemento.
Continuamos esse processo até chegarmos ao \(k\)-ésimo elemento, onde teremos \(n - (k - 1)\) escolhas.
Agora, multiplicamos todas essas escolhas juntas para obter o número total de maneiras de escolher \(k\) elementos:
\[n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \ldots \times (n - (k - 1))\]
Isso é equivalente ao fatorial de \(n\) dividido pelo fatorial de \((n - k)\) multiplicado pelo fatorial de \(k\). Portanto, a fórmula de combinação simples é deduzida como:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\]
Esta dedução demonstra como a fórmula de combinação simples representa o número de maneiras únicas de escolher \(k\) elementos de um conjunto de \(n\) elementos, onde a ordem de escolha não importa.
Exemplos de Aplicação
Exemplo 1
Suponha que você tem 5 cores diferentes de camisetas e deseja escolher duas delas para vestir hoje. Quantas escolhas diferentes você tem?
\[C(5, 2) = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5 - 2)!}} = 10 \text{ maneiras}\]
Exemplo 2
Você tem uma caixa com 10 chocolates diferentes e quer pegar 3 deles. Quantas seleções diferentes de chocolates você pode fazer?
\[C(10, 3) = \frac{{10!}}{{3! \cdot (10 - 3)!}} = 120 \text{ maneiras}\]
Exemplo 3
Em um restaurante, há 8 pratos diferentes no menu. Quantas maneiras diferentes de montar um prato de entrada, um prato principal e uma sobremesa você tem?
\[C(8, 1) \times C(8, 1) \times C(8, 1) = 8 \times 8 \times 8 = 512 \text{ maneiras}\]
Exemplo 4
Quantas maneiras diferentes existem para formar um comitê de 4 pessoas a partir de um grupo de 10 candidatos?
\[C(10, 4) = \frac{{10!}}{{4! \cdot (10 - 4)!}} = 210 \text{ maneiras}\]
Exemplo 5
Em um torneio de xadrez, 8 jogadores estão competindo. Quantos jogos de xadrez diferentes podem ser organizados para a primeira rodada do torneio?
\[C(8, 2) = \frac{{8!}}{{2! \cdot (8 - 2)!}} = 28 \text{ jogos diferentes}\]
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